det[A] = 

(-1)⁽¹⁺¹⁾a_1,1

 + 

(-1)⁽¹⁺²⁾a_1,2

 + 

(-1)⁽¹⁺³⁾a_1,3

 = 

 = 

1

- 

2

 = 

 = 

1

*(

5

*

4

-

-2

*

-2

)

- 

2

*(

2

*

4

-

-2

*

0

)

 = 

 = 

1

*(

20

-

4

)

- 

2

*(

8

-

0

)

 = 

 = 

1

*

16

- 

2

*

8

 = 

16

- 

16

 = 

0

Найдем det A.

det A =

1

2

3

4

=

4

1

2

3

3

4

1

2

2

3

4

1

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 2 , умноженные на 2.

       =

-7

0

-1

-2

=

4

1

2

3

3

4

1

2

2

3

4

1

К элементам строки 1 прибавляем соответствующие элементы строки 3 .

       =

-4

4

0

0

=

4

1

2

3

3

4

1

2

2

3

4

1

К элементам столбца 1 прибавляем соответствующие элементы столбца 2 .

       =

0

4

0

0

=

5

1

2

3

7

4

1

2

5

3

4

1

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

Введем обозначения элементов ( a _{i j} ) нашего определителя A . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.

det A =

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₁₄

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₂₄

a₃₁

a₃₂

a₃₃

a₃₄

a₄₁

a₄₂

a₄₃

a₄₄

Формула разложения определителя A по строке 1, выглядит следующим образом :

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * a₁₁ * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * a₁₂ * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * a₁₃ * M₁₃ + ( -1 ) ¹⁺⁴ * a₁₄ * M₁₄ ,

где M _{1 i} - миноры соответствующих элементов строки 1.

Подставим элементы строки 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

det A = ( -1 ) ¹⁺¹ * 0 * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * 4 * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * 0 * M₁₃ + ( -1 ) ¹⁺⁴ * 0 * M₁₄

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₁ элемента a₁₁ = 0 ( он нам не нужен ). 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 .

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₂ элемента a₁₂ = 4 . 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 2 .

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₃ элемента a₁₃ = 0 ( он нам не нужен ). 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₄ элемента a₁₄ = 0 ( он нам не нужен ). 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 4 .

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= ( -4) detC₁

= ( -4) * 40  

= -160  

detC₁ =

5

2

3

=

7

1

2

5

4

1

Из элементов строки 1 вычитаем соответствующие элементы строки 3 .

       =

0

-2

2

=

7

1

2

5

4

1

К элементам столбца 2 прибавляем соответствующие элементы столбца 3 .

       =

0

0

2

=

7

3

2

5

5

1

Разлагаем определитель по элементам первой строки.

Введем обозначения элементов ( a _{i j} ) нашего определителя C₁ . Первый индекс ( i ), всегда обозначает номер строки, где располагается элемент. Второй индекс ( j ) - номер столбца, где располагается элемент.

detC₁ =

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

Формула разложения определителя C₁ по строке 1, выглядит следующим образом :

detC₁ = ( -1 ) ¹⁺¹ * a₁₁ * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * a₁₂ * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * a₁₃ * M₁₃ ,

где M _{1 i} - миноры соответствующих элементов строки 1.

Подставим элементы строки 1 в формулу разложения. Очевидно, если элемент равен нулю, то его минор находить нет никакой необходимости, но для наглядности процесса разложения, мы их рассмотрим.

detC₁ = ( -1 ) ¹⁺¹ * 0 * M₁₁ + ( -1 ) ¹⁺² * 0 * M₁₂ + ( -1 ) ¹⁺³ * 2 * M₁₃

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₁ элемента a₁₁ = 0 ( он нам не нужен ). 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 1 .

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₂ элемента a₁₂ = 0 ( он нам не нужен ). 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 2 .

• Рассмотрим, как образуется минор M₁₃ элемента a₁₃ = 2 . 
  В нашем определителе вычеркиваем строку 1 и столбец 3 .

Подставим в формулу разложения рассмотренные миноры.

= 2* ( 7 * 5 - 3 * 5 ) =

= 2 * 20

= 40

det A =

7

3

4

=

1

5

7

2

5

7

= 7 * 5 * 7   +   3 * 7 * 2    +   4 * 1 * 5   -   4 * 5 * 2   -   3 * 1 * 7   -   7 * 7 * 5 = 1 не равен нулю значит обратная матрица существует