Лабораторная работа № КСЕ-01

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

НА ПРИМЕРЕ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОТНОСТИ

Цель работы:

1. Ознакомиться с основными понятиями теории погрешностей и методами обработки результатов измерений.

2. Определить плотность тела правильной геометрической формы с учетом погрешности.

Теоретическое введение

Основные понятия и термины

Одним из основных эмпирических методов естествознания является измерение – то есть определение количественного значения какой-либо величины путем ее сопоставления (непосредственного или косвенного) с эталоном. Как правило, абсолютно точные измерения невозможны. Действительно, для абсолютно точных измерений нужно, во-первых, иметь абсолютно точный измерительный прибор, во-вторых, полностью исключить влияние в ходе измерений внешних неконтролируемых факторов на измерительный прибор и на сам исследуемый объект. Оба эти условия на практике невыполнимы. Поэтому задачей измерений является не нахождение точного значения интересующей нас величины, а нахождение так называемого доверительного интервала и минимизация возникающей при измерении погрешности.

Доверительный интервал – интервал, в котором с заданной, так называемой доверительной вероятностью a находится истинное значение искомой величины (рисунок 1.1). Результат нахождения доверительного интервала должен быть представлен следующим образом:

,                     (1.1)

где  – среднее значение результата измерений;

      ΔА – полуширина доверительного интервала или, иначе говоря, абсолютная погрешность измерений;

       a– доверительная вероятность.

При этом необходимо учитывать, что численное значение ΔА должно содержать не более двух значащих цифр, а значение  должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и ΔА.

Например, результат измерения времени движения тела имеет вид

t = (18,5 ± 1,2) c;      a= 0,95.

Из этой записи следует, что с вероятностью 95 % истинное значение времени движения лежит в интервале от 17,3 с до 19,7 с.

Отметим, что величина абсолютной погрешности не является мерой точности выполненного измерения. Допустим, при измерении расстояния была допущена абсолютная погрешность = 1 км. Много это или мало? Это может быть и много, если само измеряемое расстояние равно нескольким километрам, и очень мало, если измерялось огромное расстояние, например расстояние от Земли до Луны. Мерой точности измерения является относительная погрешность, показывающая соотношение между абсолютной погрешностью и средним значением измеряемой величины:

.                                          (1.2)

Иногда относительную погрешность выражают в процентах

.                               (1.2а)

Измерения подразделяются на прямые и косвенные. При прямом измерении значение искомой величины определяется непосредственно с помощью прибора, предназначенного для измерения именно этой величины (измерение длины образца линейкой, длительности процесса с помощью часов и т.п.). При косвенном измерении искомая величина находится (вычисляется) по некоторой известной формуле на основании прямых или косвенных измерений величин, входящих в эту формулу. Например, для определения плотности r однородного материала можно использовать формулу

,                                                      (1.3)

где m – масса тела, которую можно измерить прямо, например с помощью весов;

      V – объем тела.

Объем может быть измерен прямо, например, с помощью мерного стакана, но для тел правильной геометрической формы зачастую (и в данной работе также) его находят косвенно, то есть вычисляют по формуле на основании прямых измерений размеров тела. В данной работе используется тело (брусок) в форме прямоугольного параллелепипеда и его объем находится по формуле

V=a·b·c,                                           (1.4)

где a, b, c – длина, ширина и высота бруска, измеряемые прямо с помощью штангенциркуля.

Отклонение результата прямого или косвенного измерения от истинного значения искомой величины называется погрешностью измерения. Погрешности прямых измерений обусловлены возможностями измерительных приборов, методикой измерений и условиями проведения эксперимента. Погрешности косвенных измерений обусловлены “переносом” на искомую величину погрешностей прямых измерений тех величин, на основе которых она рассчитывается. Существуют погрешности трех видов: систематические, случайные и промахи.

Под систематическими погрешностями понимают те, причина возникновения которых остается постоянной или закономерно изменяется в течение всего процесса измерения. Если причина систематической погрешности постоянна, то такая погрешность воспроизводится при повторных измерениях и поэтому не может быть обнаружена и устранена путем многократных измерений. Источниками систематических погрешностей обычно являются неправильная юстировка приборов, закономерно изменяющиеся внешние факторы, неправильно выбранная методика измерений. Для выявления и исключения систематических погрешностей необходимо предварительно проанализировать условия измерения, провести контрольные поверки измерительных приборов и сопоставить получаемые результаты с данными более точных измерений. К не исключаемым систематическим погрешностям, которые необходимо учитывать при обработке результатов, относят погрешности используемых приборов и инструментов (приборные погрешности).

Приборная погрешность для приборов типа линейки, штангенциркуля, микрометра равна половине цены деления прибора

,                                         (1.5)

для стрелочных электроизмерительных приборов определяется по классу точности прибора.

Под классом точности прибора γ понимают величину, равную:

,                           (1.6)

где ΔA_пр - приборная погрешность, одинаковая для всех точек шкалы;

       A_max - предел измерения (максимальное значение показаний прибора).

Для электронных приборов формулы для расчета приборной погрешности приводятся в паспорте прибора.

Случайные погрешности возникают в результате действия различных случайных факторов. Этот вид погрешностей обнаруживается при многократном измерении одной и той же величины в одинаковых условиях с помощью одних и тех же приборов: результаты серии измерений несколько отличаются друг от друга случайным образом. Вклад случайных погрешностей в результат измерения учитывают и минимизируют путем многократных измерений и последующей обработки результатов.

Под промахами понимают большие погрешности, резко искажающие результат измерения. Они возникают как следствие грубых нарушений процесса измерений: неисправности приборов, ошибок экспериментатора, скачков напряжения в электрической цепи и т.д. Результат измерений при промахе резко отличается от результатов повторных измерений и должен быть отброшен в процессе предварительного анализа.

С целью выявления промахов и учета вклада случайных и приборных погрешностей прямые измерения искомой величины проводят несколько раз в одних и тех же условиях, то есть проводят серию равноточных прямых измерений. Целью последующей обработки результатов серии равноточных измерений является нахождение доверительного интервала, то есть:

– получение значения искомой величины, наиболее близкого к истинному (среднего значения серии измерений);

– определение полуширины доверительного интервала.

Порядок обработки результатов многократных прямых измерений

1. Перед обработкой результатов измерений необходимо задать значение доверительной вероятности a (обычно 0,9 или 0,95).

2. Проанализировать таблицу записи результатов и выявить возможные промахи. Результаты, содержащие промахи, следует отбросить.

3. Вычислить среднее арифметическое значение серии измерений:

                                                       (1.7)

где n – число измерений;

      A_i – результат i-го измерения.

4. Найти погрешности отдельных измерений:

.                                                        (1.8)

5. Вычислить среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата серии измерений:

                                                    (1.9)

6. Оценить вклад случайных погрешностей в полуширину доверительного интервала:

,                                                 (1.10)

где  – коэффициент Стьюдента (таблица 1.1).

Таблица 1.1 – Коэффициент Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности  и различном количестве опытов n

7. Определить погрешность прибора ΔА_пр (по формуле (1.5), или по формуле (1.6) на основании класса точности прибора, или по его паспорту).

8. Найти полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность) измеряемой величины по приближенной формуле:

                                              (1.11)

(Более точные формулы для обработки результатов прямых измерений приведены, например, в [2]).

9. Записать результат измерений в виде доверительного интервала (формула (1.1)).

10. По формуле (1.2) или (1.2а) определить и записать относительную погрешность.

Частные случаи

1. При однократных измерениях полуширину доверительного интервала принимают равной приборной погрешности:

2. При взвешивании на рычажных весах погрешность определения массы принимают равной половине массы наименьшего разновеса (наименьшей гирьки) из имеющегося набора разновесов. (Сама эта наименьшая гирька может для уравновешивания весов и не использоваться).

3. Абсолютная погрешность табличной (справочной) величины либо приводится в справочнике, либо принимается равной половине единицы наименьшего указанного разряда. Например, нам нужно использовать число . Точное его значение неизвестно. Примем в качестве среднего значения округленную величину =3,14. Наименьший указанный разряд – сотые, следовательно, 0,01/2=0,005. Если взять среднее значение  с точностью до тысячных: =3,142, то 0,001/2=0,0005. Это правило остается в силе и если последняя цифра числа – нуль. Например, если в справочнике сказано, что плотность  некоторого материала равна 2,70 г/см³, то =0,01/2=0,005.

Определение доверительного интервала косвенного измерения

Пусть искомая величина y является известной функцией величин х₁, х₂, …, x_n, каждую из которых находят в результате прямых измерений:

                                         (1.12)

Ставится задача: зная доверительные интервалы для величин, входящих в эту формулу, рассчитать доверительный интервал для величины y.

Для того, чтобы найти среднее значение  результата косвенных измерений, следует в формулу (1.12) подставить средние значения величин х₁,  х₂, …, x_n:

.                                     (1.13)

Полуширину доверительного интервала Δу находят по формуле:

(1.14)

где Δх_i – полуширина доверительного интервала (абсолютная погрешность) величины х_i,, а значения частных производных  вычисляются при подстановке средних значений величин   …, .

Если  является степенной функцией вида:

                                                     (1.15)

где k,l,…,m – целые или дробные числа, то формулу (1.13) можно привести к виду:

                     (1.16)

Расчет погрешности при измерении плотности

В данной работе плотность древесины, из которой изготовлен брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, измеряется косвенно, то есть вычисляется по формуле, следующей из формул (1.3) и (1.4):

.                                      (1.17)

Вначале производятся прямые измерения массы, длины, ширины и высоты бруска и рассчитываются соответствующие доверительные интервалы при одинаковых значениях доверительной вероятности:

.

Остается рассчитать доверительный интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью лежит истинное значение плотности

.

Среднее значение плотности, как следует из формулы (1.13), таково

.                                             (1.18)

Абсолютная погрешность плотности, как следует из формул (1.14) и (1.17),

               (1.19)

где ;

      ;

аналогично         

Используя эти выражения для частных производных в формуле (1.19), и подставляя в них средние значения величин, получаем:

,

(1.20)

где  – относительные погрешности прямых измерений массы и линейных размеров (рассчитанные по формулам (1.2)).

Единица измерения плотности в СИ 1 кг/м³. Широко используются также производные единицы 1 г/см³, 1 т/м³ и другие.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с устройством штангенциркуля и способом измерения линейных размеров с его помощью (Приложение). Определить и записать приборную погрешность для штангенциркуля – половину цены деления нониуса.

2. Измерить каждый из линейных размеров тела в пяти точках образца, данные занести в таблицу, образец которой (таблица 1.2) дан для измерений длины a. Таблицы для b и c аналогичны.

Таблица 1.2 – Результаты измерения длины

3. С помощью преподавателя выполнить однократное взвешивание тела на технических весах. Определить приборную погрешность весов Δm, равную половине массы наименьшего разновеса в комплекте разновесов. Результат взвешивания записать в виде  г.

4. Измерения линейных размеров тела являются прямыми, поэтому для их обработки применить алгоритм, описанный в пункте «Порядок обработки результатов многократных прямых измерений» теоретического введения. Доверительную вероятность  принять равной 0,95. Результаты представить в виде:  мм,  мм,  мм.

5. По формуле (1.18) рассчитать среднее значение плотности .Так как измерение плотности является косвенным, то для расчета погрешности измерения плотности, то есть полуширины доверительного интервала  нужно использовать формулу (1.20).

6. Результат записать в виде  г/см³ , а также выразить его в единицах СИ. Определить, из какой древесины изготовлено тело, используя таблицу 1.3.

Таблица 1.3 – Плотность различных пород дерева

Контрольные вопросы

1. Что такое прямые и косвенные измерения? Какие измерения в данной работе являются прямыми, а какие косвенными?

2. Какие погрешности называются систематическими, случайными, промахами?

3. Что называется доверительным интервалом и доверительной вероятностью?

4. Опишите алгоритм обработки результатов прямых измерений.

5. Как изменится доверительный интервал, если доверительную вероятность снизить от 0,95 до 0,9?

6. Как определить доверительный интервал результата косвенного измерения?

7. Выведите формулу для расчета погрешности измерения плотности.

Список рекомендуемой литературы

1. Детлаф, А.А. Курс физики: Учеб. пособие для студ. втузов. - 6-е изд., стер. / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. - М.: Изд. центр «Академия», 2007. - § П.3.

2. Земельман, М.А. Метрологические основы технических измерений. / М.А. Земельман. – М.: Изд-во стандартов, 1991. – 227 с.

3. Грановский, В.А. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. / В.А. Грановский, Т.Н. Сирая. – Л.: Энергоатомиздат, 1990. – 288 с.

4. Селиванов, М.Н. Качество измерений: Метрологическая справочная книга. / М.Н. Селиванов, А.Э. Фридман, Ж.Ф. Кудряшова. – Л.: Лениздат, 1987. – 295 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Измерительные приборы

1. Штангенциркули (ГОСТ 166-73)

Штангенциркуль (рисунок 1.2) позволяет измерять линейные размеры с точностью до долей миллиметра благодаря наличию нониуса – отсчетного устройства в виде подвижной дополнительной линейки с делениями, ширина которых отличается от ширины делений основной шкалы.

Цена деления (точность) Δx нониуса, выраженная в миллиметрах, равна 1/n, где n – количество делений нониуса. Например, для показанного на рисунке 1.2 нониуса с десятью делениями цена деления Δx = 0,1 мм. Приборная погрешность штангенциркуля равна половине его точности.

Измеряемый предмет плотно, без перекосов зажимают между измерительными поверхностями. Определяемый размер равен x=(m+k·Δx) мм, где m – число целых миллиметровых делений основной шкалы, полностью пройденных нулевым штрихом нониуса, k – число делений нониуса от нулевого штриха до штриха, наиболее точно совпадающего с каким-либо штрихом основной шкалы.

2. Технические весы

Для определения массы тел применяются весы. Одним из наиболее распространенных типов весов являются коромысловые равноплечие весы. В лабораторном практикуме кафедры физики используются технические весы, позволяющие проводить взвешивание с точностью от 0,01 до 0,1 г.

Технические весы (рисунок 1.3) имеют коромысло 1, на концах которого укреплены грузонесущие призмы 2. На призмы подвешены с помощью дужек и серег чашки весов 3. В середине коромысла имеется опорная призма.

Для предохранения призм весов от толчков, которыми сопровождается помещение грузов и разновесов на чашки весов, в весах имеется специальное устройство – арретир. Арретир включается и выключается плавным поворотом рукоятки, расположенной в нижней части рамы весов.  

ВНИМАНИЕ! Помещать взвешиваемое тело и разновесы на чашки весов, а также снимать их можно только при арретированных весах.

Рама весов укреплена на подставке, снабженной установочными винтами. С помощью этих винтов весы устанавливаются по отвесу. С коромыслом весов скреплена длинная стрелка 4, нижний конец которой приходится против отсчетной шкалы, укрепленной у основания рамы весов.

Взвешиваемое тело помещают, как правило, на левую чашку весов, а разновесы – на правую. Разновесы разрешается брать только пинцетом и помещать их только на чашку весов или в соответствующее гнездо футляра. Больше никуда класть разновесы не разрешается.

Пока приблизительного равновесия не достигнуто, не следует полностью открывать арретир. Если при открывании арретира обнаружится, что стрелка весов явно отклоняется в сторону, нужно тотчас же закрыть арретир и изменить массу разновесов в соответствии с направлением отклонения стрелки.

При достижении равновесия весы арретируются. После этого разновесы, начиная с более крупных, снимаются и помещаются в футляр с одновременной записью результата в рабочий журнал.