Цель работы: освоение обработки экспериментальных данных методом наименьших квадратов.

Теоретические основы

Наиболее распространенным методом аппроксимации экспериментальных данных является метод наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов требуют, чтобы сумма квадратов отклонений от аппроксимирующей функции до экспериментальных точек была минимальной:

Здесь {x_i ,y_i }– координаты экспериментальных точек,

f (x) – аппроксимирующая функция,

n – число экспериментальных точек.

Таким образом, не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки, как в случае интерполяции, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих погрешности.

Важной особенностью метода является то, что аппроксимирующая функция может быть произвольной. Ее вид определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента.

Простейшим вариантом метода наименьших квадратов является аппроксимация прямой линией. Кроме того, часто бывает возможно путем замены переменных свести задачу к линейной (провести линеаризацию).

В общем случае для нахождения аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов требуется решить задачу нелинейной оптимизации. Однако в случае аппроксимации прямой линией все выкладки можно провести вручную и получить формулы для коэффициентов прямой.

Будем искать аппроксимирующую функции, к примеру, в виде полинома первой степени: f (x) = ax + b . Задача состоит в определении неизвестных коэффициентов a и b. Таким образом, мы ищем такие значения параметров a и b, при которых функция будет минимальной.

Как известно, это значит, что

Отсюда получаем систему линейных уравнений

Решая полученную систему, находим значения коэффициентов прямой

Аналогично можно получить формулы для случая, когда различные экспериментальные точки входят с различными весами. В качестве веса обычно используют величину обратную дисперсии. Для произвольной аппроксимирующей функции нахождение неизвестных коэффициентов представляет достаточно сложную задачу и, как правило, проводится на компьютере.

         Обработка экспериментальных данных

Таблица 1 – Исходные данные 

Таблица 2 – Дисперсии аппроксимации

         Выбранное уравнение         

Коэффициенты уравнения

                   a = -0.133

                   b = 1.094

                   c = 0.12