Лабораторная работа № КСЕ-02

Изучение ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

на механической модели – МАШИНЕ АТВУДА

Цель работы:

1. Ознакомиться с динамическими закономерностями на примере законов кинематики и динамики материальной точки.

2. Проверить закон равноускоренного движения тела.

3. Проверить второй закон Ньютона для тела постоянной массы.

Теоретическое введение

Закономерности, описывающие природные процессы и явления, подразделяются на динамические и статистические.

Динамические закономерности позволяют, зная состояние объекта в некоторый момент времени, однозначно и сколь угодно точно определить его состояние в любой предшествующий или последующий момент времени. Пример динамических закономерностей – законы классической механики. Область применения динамических закономерностей – сравнительно простые, например механические, системы. Динамические закономерности не учитывают фактор случайности.

Более общий характер имеют статистические (вероятностные) закономерности, учитывающие влияние фактора случайности на исследуемые объекты и процессы. Они определяют поведение сложных (состоящих из большого числа элементов) систем и микроскопических – квантовых – систем. Динамические закономерности – частный случай статистических. Статистические закономерности переходят в динамические, если ролью случайностей можно пренебречь.

В данной работе мы знакомимся с динамическими закономерностями на примере законов механики, описывающих движение материальной точки.

Механика [от греч. mechanikе (tеchnё) - наука о машинах, искусство построения машин] – наука, изучающая простейшую – механическую - форму движения и взаимодействия материальных тел. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве. Под механическим взаимодействием тел понимают их силовое взаимодействие, приводящее к изменению движения тел или к их деформации. Простейшим объектом изучения механики является материальная точка – тело, размерами и внутренним строением которого в рассматриваемой ситуации можно пренебречь.

В механике возникает общий для всего естествознания вопрос об описании состояния исследуемого объекта. Описать состояние объекта в данный момент времени означает дать минимальный набор информации о нем, на основании которого, располагая также информацией о внешних воздействиях на объект, можно предсказать его состояние в любой последующий момент времени, то есть предсказать его движение (развитие).

Познакомимся с описанием состояния объекта и динамическими закономерностями на примере материальной точки, могущей совершать одномерное механическое движение, то есть перемещаться в пространстве лишь вдоль одной оси – оси ОХ. Ограничимся случаем движения со скоростью, много меньшей скорости света, который изучает так называемая классическая (ньютоновская) механика.

Важнейшими разделами механики являются кинематика – описание движения тел без учета обуславливающих это движение сил, и динамика - учение о движении тел под действием сил.

При изучении движения тел нужно выбрать некоторую систему отсчета, включающую в себя тело отсчета, связанную с ним систему координат и часы. Положение материальной точки относительно выбранной системы координат можно описать различными способами. Простейший из них – координатный. При одномерном движении относительно оси ОХ положение точки в каждый момент времени характеризует ее координата х (при двух- и трехмерном движении – две и три координаты, соответственно). Говорят, что известен закон движения точки, если известно, как ее положение относительно выбранной системы координат зависит от времени. Закон одномерного движения материальной точки может быть задан аналитически в виде зависимости координаты точки от времени x(t).

Важнейшими кинематическими характеристиками движения точки являются ее скорость и ускорение. Скорость характеризует быстроту движения точки. Быстроту одномерного движения точки вдоль оси ОХ характеризует проекция мгновенной скорости  точки на эту ось (далее для краткости слово «мгновенная» опущено). По определению – это предел, к которому стремится отношение приращения (изменения) координаты точки Δх к соответствующему промежутку времени Δt, при условии, что Δt стремится к нулю. Иначе говоря, это – первая производная от координаты точки по времени:

.                                                (2.1)

Динамика базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона (закон инерции) утверждает, что существует система отсчета (так называемая инерциальная система отсчета), относительно которой свободная материальная точка (точка, на которую не действуют внешние силы) сохраняет состояния покоя или прямолинейного равномерного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет точку из этого состояния. Равномерное прямолинейное движение свободной точки называют движением по инерции, а способность тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения – инертностью тела. Инерциальные системы отсчета важны тем, что только в них выполняются второй и третий законы Ньютона. Понятие инерциальной системы отсчета является абстракцией, так как ни одна из реально используемых систем отсчета не является, строго говоря, инерциальной. Однако при решении многих практических задач можно считать инерциальной систему отсчета, связанную с Землей.

В динамике важнейшую роль играют понятия массы и силы. Масса есть мера инертности тела и одновременно – мера его гравитационных свойств, то есть способности притягиваться к другим материальным объектам. Сила - векторная физическая величина, характеризующая степень механического воздействия одного тела (или поля) на другое тело, вызывающего движение тела с ускорением или деформацию тела.

Второй закон Ньютона устанавливает связь между изменением состояния движения точки и внешним силовым воздействием на нее. Второй закон Ньютона в общем виде гласит: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на эту точку силе:

,                                                    (2.3)

где  - импульс точки, m - масса точки, - скорость точки,  - сила.

Если масса точки постоянна, то второй закон Ньютона принимает вид:

,                                                   (2.4)

где  - вектор ускорения точки.

Проецируя векторное равенство (2.4) на ось ОХ, получаем: , или с учетом формулы (2.2):

.                                                (2.5)

Второй закон Ньютона, записанный в виде (2.5), называют дифференциальным уравнением движения материальной точки вдоль оси ОХ.

В динамике рассматриваются две основные задачи. При решении прямой задачи задаются масса точки и закон ее движения, в одномерном случае – зависимость x(t). Требуется найти зависимости от времени кинематических характеристик: скорости и ускорения, а также силы, действующей на тело при данном движении. Задача решается однозначно: путем дифференцирования закона движения находятся скорость и ускорение (формулы (2.1) и (2.2)), по второму закону Ньютона находится сила.

Более сложной является обратная задача: зная силу, действующую на точку заданной массы, найти зависимости от времени ее ускорения и скорости, а также закон ее движения. Сила, действующая на точку, может зависеть от времени, а также от скорости точки (например, сила сопротивления среды движению) и ее координаты (например, сила упругости). Для решения этой задачи при одномерном движении используется уравнение (2.5), в котором в общем случае . Здесь и возникает вопрос об описании состояния точки, то есть об информации, необходимой для однозначного решения задачи о будущем движении точки при известном внешнем воздействии, то есть при известной силе. Как известно из математики, для однозначного решения дифференциального уравнения второго порядка, каковым и является уравнение (2.5), нужна дополнительная информация. Обычно используют информацию о начальных условиях, то есть значениях начальной координаты  и начальной скорости . Таким образом, механическое состояние точки известной массы в каждый момент полностью характеризуется ее координатами и скоростью: знания этих величин и силы, действующей на тело, достаточно, чтобы определить состояние точки (ее координаты и скорость) в любой последующий момент времени.

Рассмотрим одномерное движение точки массой m под действием постоянной силы, проекция которой на ось ОХ равна F_x. Из второго закона Ньютона следует, что при этом проекция ускорения . Такое движение называется равноускоренным. Решение уравнения (2.5) таково

,                                             (2.6)

где  - неизвестные константы интегрирования. Для их определения и нужно знать начальное состояние точки: ее начальную координату x₀ и проекцию начальной скорости . Пусть эти величины известны. Тогда полагая в уравнении (2.6) t=0, а х=х₀, получаем, что С₂=х₀. Продифференцируем выражение (2.6) по времени, получим, что

.                                             (2.7)

Полагая в выражении (2.7) t=0, а , получаем, что . Определив таким образом константы С₁ и С₂, получаем из уравнения (2.6) закон равноускоренного одномерного движения:

.                                          (2.8)

Второй закон Ньютона для точки постоянной массы (2.4) и получающийся из него закон равноускоренного одномерного движения (2.8) – примеры динамических закономерностей из области механики. В данной работе осуществляется проверка этих двух законов.

Описание установки и метода измерения

Машина Атвуда (рисунок 2.1) изобретена в 1784 г. и предназначена для изучения законов поступательного движения тел под действием постоянной силы. Установка представляет собой блок 1, через который перекинута нить. На концах нити закреплены основные грузы равной массы М, на которые можно помещать дополнительные грузы (перегрузки), масса каждого из которых равна m. В исходном состоянии левый груз удерживается электромагнитом 2 в крайнем нижнем положении.

Пусть на правый основной груз помещено N₁, а на левый N₂ дополнительных грузов, причем N₁>N₂. Общая масса m₁=(М + N₁m) правого набора грузов (основного и дополнительных) превышает общую массу m₂=(М +N₂m) левого набора грузов, вследствие этого после отключения электромагнита система приходит в движение и начинается отсчет времени движения.

Установка снабжена линейкой для измерения пути, который проходит правый груз, и автоматической системой отсчета времени движения 3. При достижении правым грузом финишной платформы 4 отсчет времени движения прекращается.

В установке реализованы условия, при которых массой нити и силами сопротивления движению можно пренебречь (легкая нить и малые скорости движения). При этих условиях из сил, приложенных к грузам и блоку, необходимо учитывать только силы тяжести , , действующие на грузы, и силы натяжения ,  нити.

Покажем, что при этом движение системы грузов будет равноускоренным. Пренебрежем массой блока. Запишем формулу второго закона Ньютона для каждого из тел системы:

                                                 (2.9)

Запишем проекции этих векторных равенств на ось ОХ. При этом учтем, что блок и нить невесомы, следовательно, Т₁ = Т₂ = Т. Кроме того, нить нерастяжима, следовательно, а₁ = а₂ = а.

С учетом этого получаем:

Вычтем из первого уравнения второе:

,                                         (2.10)

откуда

.                                                  (2.11)

Уравнение (2.10) можно рассматривать как запись второго закона Ньютона для тела массой , на которое действует равнодействующая сила

                (2.12)

Из формул (2.11), (2.12) следует, что при фиксированных значениях величин N₁ и N₂ результирующая сила F_p и ускорение системы грузов постоянны.

Таким образом, данная установка позволяет, во-первых, проверить справедливость закона равноускоренного движения (2.8). В эксперименте начальная координата правого груза и начальная скорость грузов равны нулю, а конечная координата правого груза равна пройденному пути S. При этих условиях закон движения (2.8) принимает вид:

S = at²/2.                                                       (2.13)

Задавая путь и измеряя время движения, можно экспериментально проверить справедливость закона (2.13).

Во-вторых, перекладывая перегрузки с правого основного груза на левый, можно, не изменяя массы системы, изменять результирующую силу. Это позволяет изучить влияние силы на ускорение системы постоянной массы, то есть проверить справедливость второго закона Ньютона для тела постоянной массы.

Часть 1. Проверка закона равноускоренного движения

Порядок выполнения работы

1. Подключить установку к сети, включить секундомер, нажать кнопку «СБРОС» («установка нуля»).

2. Установить на правом основном грузе несколько перегрузков общей массой N₁m = 5-7 г, записать значение N₁m в таблицу 2.1. Левый груз установить на электромагнит.

3. Установить финишную платформу на некоторое расстояние S (примерно 20 см), используя винтовой фиксатор. Записать значение S в таблицу 2.1.

4. Нажать кнопку «ПУСК» - отключается электромагнит, удерживающий левый груз, система начинает движение, включается секундомер. После достижения правым грузом финишной платформы секундомер останавливается. Записать время прохождения грузами расстояния S в таблицу 2.1.

ВНИМАНИЕ! Перед нажатием кнопки «ПУСК» необходимо убедиться, что грузы не совершают колебательных и вращательных движений.

Таблица 2.1 – Проверка закона равноускоренного движения

5. Повторить измерения времени движения грузов при данном значении S 3-5 раз (по указанию преподавателя).

6. Увеличивая путь S примерно на 20 см, провести измерения времени движения грузов (п.п. 3-5) еще для двух значений пути.

7. Увеличить массу перегрузков на правом основном грузе до 10-12 г и повторить измерения по п.п.3-6 (выполняется по указанию преподавателя).

Обработка результатов измерений

1. Для каждого из использованных значений N₁m и S рассчитать ускорение по следующей из закона (2.13) формуле:

а = 2S/t²,                                                     (2.14)

и абсолютную погрешность ускорения:

,                                      (2.15)

где ΔS = 0,5 см, Δt = 0,1 с. Результаты расчетов занести в таблицу 2.1.

Если закон равноускоренного движения верен, то доверительные интервалы ускорения, найденные по формулам (2.14), (2.15) для одного и того же значения N₁, но разных значений S, должны перекрываться.

2. Для графической проверки закона равноускоренного движения построить систему координат, в которой по горизонтальной оси будет откладываться t² -квадрат времени, затраченного на прохождение пути S, а по вертикальной - путь S. В этой системе координат построить семейство экспериментальных зависимостей S(t²), снятых при различных значениях N₁.

Если закон (2.13) верен, то в выбранной системе координат графики зависимости S(t²) есть прямые линии, проходящие через начало отсчета.

Часть 2. Проверка второго закона Ньютона

Порядок выполнения работы

1. Установить расстояние S примерно 0,5 м. Записать это значение.

2. Положить на правый основной груз перегрузки общей массой 20 г. Записать общую массу перегрузков на левом грузе N₂m и на правом грузе N₁m в таблицу 2.2.

3. Измерить время движения грузов 3-5 раз (по указанию преподавателя) Результаты записать в таблицу 2.2.

4. Провести аналогичные серии измерений, перекладывая перегрузки с правого основного груза на левый (каждый раз по 1-2 г).

Таблица 2.2 – Проверка второго закона Ньютона

Обработка результатов измерений

1. Для каждого из использованных значений N₁ и N₂ рассчитать ускорение по проверенной в части 1 формуле (2.14) и абсолютную погрешность ускорения по формуле (2.15), принимая ΔS = 0,5 см, Δt = 0,1 с. Рассчитать также значение результирующей силы, действующей на систему, и ее абсолютную погрешность:

где ∆m = 0,01 г - погрешность определения массы каждого дополнительного груза; N=N₁+N₂ - общее число дополнительных грузов. Результаты расчетов занести в таблицу 2.2.

2.  Для проверки второго закона Ньютона построить по экспериментальным данным график зависимости ускорения системы грузов a от результирующей силы F_p.

График зависимости a(F_p) должен представлять собой прямую линию, проходящую через начало отсчёта. Если график пересекает горизонтальную ось в точке F_p>0, то это свидетельствует о наличии силы трения в блоке.

Примечание – Порядок выполнения работы и обработки результатов измерений может быть изменен по указанию преподавателя.

Контрольные вопросы

1. Какие закономерности называются динамическими? Приведите примеры таких закономерностей.

2. Что называется законом движения, скоростью и ускорением материальной точки?

3. Сформулируйте первый и второй законы Ньютона. Запишите второй закон Ньютона в общем виде и для случая материальной точки постоянной массы. Запишите дифференциальное уравнение движения точки.

4. Что означает «описать состояние объекта»? Как описывается в механике состояние материальной точки?

5. Запишите закон одномерного равноускоренного движения точки.

6. Выведите формулу для расчета ускорения грузов, связанных нитью, перекинутой через невесомый блок.

7. Обоснуйте возможность применения машины Атвуда для изучения закона равноускоренного движения и второго закона Ньютона для тела постоянной массы.

Список рекомендуемой литературы

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. - 11-е изд., стер. / Т.И. Трофимова. - М.: Изд. центр «Академия», 2006. - §§ 1-3, 5-7.

2. Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для студ. втузов. - 6-е изд., стер. / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. - М.: Изд. центр «Академия», 2007. - §§ 1.1-1.4, 2.1-2.4.

3. Концепции современного естествознания: Курс лекций для студентов гуманитарных специальностей. Гл. 5. Классическая механика и классическая электродинамика / БГИТА; Сост. К.Н. Евтюхов. – Брянск, 2000. – 18 с.