Лабораторная работа № КСЕ-03

Изучение СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ

на механической модели

Цель работы:

1. Ознакомиться со статистическими закономерностями на примере нормального (гауссовского) закона распределения случайной величины.

2. Изучить на механической модели нормальный закон распределения и определить его дисперсию и меру точности.

Теоретическое введение

Закономерности, описывающие природные процессы и явления, подразделяются на динамические и статистические.

Динамические закономерности позволяют, зная состояние объекта (системы) в некоторый момент времени, однозначно и сколь угодно точно определить его состояние в любой предшествующий или последующий момент времени. Пример динамических закономерностей – законы классической механики. Область применения динамических закономерностей – сравнительно простые, например механические, системы. Динамические закономерности не учитывают фактор случайности.

При изучении сложных систем, состоящих из большого числа элементов, и квантовых объектов микромира главную роль играют статистические (вероятностные) закономерности, учитывающие влияние случайностей на состояние объектов изучения и на протекание процессов. В биологических, социальных и экономических системах также господствуют статистические закономерности. Статистические закономерности позволяют находить вероятности того или иного варианта движения (развития) объекта (системы) и находить усредненные характеристики случайных величин, характеризующих объект. Они имеют более общий характер, чем динамические. Математическим аппаратом описания статистических закономерностей являются теория вероятностей и математическая статистика.

Случайной называется величина, будущее значение которой невозможно точно предсказать на основе имеющейся информации о состоянии изучаемого объекта в данный момент. Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные. Дискретная случайная величина может изменяться только скачкообразно и принимает значения из ряда х₁, х₂, … х_s (количество s значений может быть и бесконечно большим). Например, энергия электрона в атоме может принимать только некоторые, так называемые «разрешенные» значения E₁, E₂, E₃ … (число таких значений бесконечно). Дата рождения человека может принимать одно из 365 значений (если год его рождения – не високосный).

Непрерывной называется случайная величина, могущая принимать любые значения в некоторой области. Примеры непрерывных случайных величин:

– абсолютная величина (модуль) скорости  движения частиц газа (может принимать любые неотрицательные значения: );

– проекция скорости  частицы газа на ось ОХ (может принимать любые положительные и отрицательные значения);

– результаты серии повторных измерений очень многих физических величин (размеров, давления, напряжения и т.д.), если при измерениях имела место случайная погрешность (а она фактически неизбежна);

– длительность работы любого технического изделия до поломки, прочность каждого из серии образцов какого-либо материала, масса буханки хлеба, или кирпича, или трактора или любого другого серийного изделия, то есть – фактически любой параметр серийных изделий;

– очень многие экономические и социологические параметры: объем производства на следующий год, предполагаемый курс акций и валюты, процент голосов, которые будут поданы за кандидата на выборах, и т.д.

Далее рассматриваются только непрерывные случайные величины. Статистические закономерности при изучении непрерывной случайной величины х описываются функцией (законом) распределения f(x) этой величины. С помощью этой функции невозможно предсказать, какое именно значение примет случайная величина, но можно определить вероятность того, что ее значение будет лежать в том или ином интервале, а также среднее значение случайной величины и ряд других характеристик.

Поясним, что подразумевается под функцией распределения. Пусть имеется набор из очень большого числа N значений какой-либо случайной величины. В качестве примера случайной величины будем рассматривать модуль скорости частиц газа. В 1 м³ кислорода О₂ при 300 К и давлении 1 атм = 10⁵ Па содержится 2,42·10²⁵ молекул, каждая из которых имеет свою скорость. То есть в данном случае число N равно числу молекул: N = 2,42·10²⁵. Пусть dN значений этой случайной величины лежат в бесконечно малом интервале шириной dx от х до x+dx. В нашем примере dN – число молекул, у которых модуль скорости лежит в некотором малом интервале скоростей. Возьмем интервал от 400 м/с до 400,1 м/с шириной 0,1 м/с. При указанных условиях в каждом кубометре газа имеется dN = 3,17·10²⁰ молекул О₂, у которых скорости лежат в этом интервале. Вычислим отношение

.                                                    (3.1)

Это отношение показывает, какая доля от общего числа значений случайной величины лежит в рассматриваемом интервале, или, другими словами, какова вероятность того, что взятое наугад значение случайной величины лежит в этом интервале. В нашем примере dP = 3,17·10²⁰ : 2,42·10²⁵ = 1,314·10^-5.

Если вероятность dP разделить на ширину интервала dx, то мы получим плотность вероятности случайной величины, которая и называется функцией (законом) распределения случайной величины. С учетом формулы (3.1) получаем

.                                            (3.2)

В нашем примере f(400) = 1,314·10^-4 (м/с)^–1.

Чтобы лучше понять смысл функции распределения положим dx = 1, то есть рассмотрим единичный интервал значений случайной величины от x до x + 1. При этом формула (3.2) упрощается и принимает вид

.                                                   (3.3)

Следовательно, функция распределения показывает, какая доля от общего числа значений случайной величины лежит в единичном интервале от x до  x + 1. Иными словами, функция распределения показывает, какова вероятность того, что взятое наугад значение случайной величины попадет в единичный интервал от x до x + 1.

Если известен вид функции распределения, то из формулы (3.2) следует, что вероятность нахождения случайной величины в бесконечно малом интервале от x до x + 1 такова

.                                                 (3.4)

Интегрируя формулу (3.4), получаем формулу для расчета вероятности нахождения случайной величины на интервале (a, b)

.                                       (3.5)

Вероятность того, что случайная величина принимает хотя бы какое-то значение на интервале от  до , очевидно, равна единице

.                                  (3.6)

Важнейшие характеристики случайной величины – ее математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание есть среднее значение случайной величины при . Для обозначения таких средних используют угловые скобки . Для непрерывной случайной величины

.                                              (3.7)

Кроме среднего значения, важно также знать, насколько сильно значения рассматриваемой величины отклоняются от ее среднего значения или, иначе говоря, насколько широк разброс значений случайной величины. Среднее значение отклонения от среднего (среднее значение разности ) для этого не подходит, поскольку оно равно нулю. Действительно,

.

Поэтому рассматривают среднее значение не самого отклонения от среднего, а среднее значение квадрата отклонения. Это и есть дисперсия случайной величины, которая обозначается через :

.                                  (3.8)

Квадратный корень из дисперсии  называют средним квадратичным отклонением или стандартом случайной величины.

Во многих случаях для описания случайных величин справедлив так называемый закон нормального распределения (распределения Гаусса). Это распределение имеет место, если случайная величина зависит от большого числа факторов, могущих вносить с равной вероятностью положительные и отрицательные отклонения. Примером может служить распределение случайных ошибок при измерении любой физической величины или распределение проекций на координатную ось скоростей движения частиц газа. Можно показать, что закон нормального распределения (закон Гаусса) имеет вид

,                                  (3.9)

где х – произвольное значение случайной величины;

      – среднее значение (математическое ожидание) случайной величины;

       – дисперсия.

На рисунке 3.1 показаны графики распределения Гаусса при различных значениях  и .

Нормальное распределение характеризуется также мерой точности .   При х =  функция распределения максимальна

.

Величина , обратная мере точности h, равна такому отклонению x от , при котором f(x) меньше f_max в раза (рисунок 3.1).

Максимум гауссовского распределения (рисунок 3.1) достигается при значении х, равном математическому ожиданию . Кривая, описывающая нормальное распределение (кривая Гаусса), имеет колоколообразный вид, она симметрична относительно вертикали . Площадь под кривой на всем бесконечном промежутке  равна интегралу . Подставляя сюда функцию (3.9), можно убедиться, что эта площадь равна единице. Это согласуется с формулой (3.6).

Разобьем площадь под кривой Гаусса (рисунок 3.2) вертикальными прямыми на отдельные участки. Сначала рассмотрим участок, соответствующий промежутку  (заштрихован на рисунке 3.2). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой Гаусса и вертикальными прямыми, равна величине интеграла , то есть в соответствии с формулой (3.5) равна вероятности того, что случайная величина х попадает в промежуток от  до . Расчет показывает, что эта вероятность равна 0,683. Можно показать, что вероятность попадания в промежуток от  до  равна 0,954, а в промежуток от  до  равна 0,997.

Таким образом, значения непрерывной случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению, попадают в интервал  с вероятностью 0,997. Такая вероятность практически равна единице. Поэтому можно полагать, что фактически все значения рассматриваемой случайной величины находятся в пределах промежутка, простирающегося на 3σ вправо и на 3σ влево от . Это и есть «правило трех сигм».

Описание установки и метода измерения

В установке (рисунок 3.3) поток частиц (зерен) из воронки 1 с узкой щелью сыплется сквозь ряд сеток 2, отклоняющих частицы от вертикали. Сетки образованы параллельными струнами, натянутыми на рамки на малом расстоянии друг от друга. Каждая сетка должна быть сдвинута относительно соседней на половину расстояния между струнами. При ударе о струну отклонения частицы вправо и влево равновероятны. Рассеянный поток частиц попадает в плексигласовый ящик 3, разделенный на узкие вертикальные ячейки. На передней стенке ящика нанесены горизонтальные риски для отсчета уровня у заполнения ячеек.

Отклонение х от вертикали частицы, падающей в ящик, есть случайная величина, распределенная по нормальному закону. О виде функции распределения f (х) свидетельствует распределение частиц по ячейкам. Центральной ячейке присвоен номер i = 0, ячейкам справа от нее – номера  i = 1, 2, 3, …, 7, слева – номера i = –1, –2, …, –7. Ширина каждой ячейки принята за единицу. Следовательно, уровень y₀ заполнения нулевой ячейки пропорционален вероятности того, что отклонение частицы лежит в интервале от – 0,5 до + 0,5; уровень y_i заполнения ячейки номер i пропорционален вероятности отклонения в пределах от (i – 0,5) до (i + 0,5).

Для определения параметров распределения f (х) принимается, что все частицы, попавшие в ячейку номер i, имели одинаковое отклонение x_i, соответствующее центру ячейки, то есть x_i = i. Из симметрии системы следует, что среднее отклонение частиц . Тогда мера точности h может быть рассчитана по формуле

,                                               (3.10)

где  – усредненный по нескольким опытам уровень заполнения ячейки номер i; суммирование ведется по всем ячейкам.

Порядок выполнения работы

1. Вставить в установку малое (3-4) число сеток и медленно сыпать через воронку зерно, пока одна из ячеек (обычно это бывает центральная) не заполнится.

2. Определить и записать в таблицу 3.1 уровни y_i зерна в каждой ячейке. Таблица составляется отдельно для малого числа сеток и большого числа сеток.

3. Высыпать зерно из ящика и проделать опыт еще два раза.

4. Вставить в ящик большое (6–7) число сеток и проделать опыты по пунктам 2, 3.

Таблица 3.1 – Результаты измерений

Обработка результатов измерений

1. Для малого числа сеток для каждой ячейки рассчитать средний уровень , величины , , а также суммы , .

2. Построить график экспериментальной зависимости y_м(х) для малого числа сеток, откладывая по оси ОХ значения  и т.д., а по оси ОY - соответствующие значения .

3. По формуле (3.10) рассчитать меру точности h_м, а затем по формуле  дисперсию распределения для малого числа сеток.

4. Полагая среднее значение отклонения частиц  и используя найденное в п. 3 значение дисперсии , рассчитать по формуле (3.9) для  и т.д. значения функции распределения f_м(х) для малого числа сеток. Построить график этой функции распределения.

5. Повторить операции по пунктам 1- 4 для большого числа сеток. Графики зависимостей y_б(x) и f_б(х) для большого числа сеток построить на тех же рисунках, где построены аналогичные графики для малого числа сеток.

6. Сделать вывод о зависимости дисперсии и вида функции распределения от количества сеток.

Контрольные вопросы

1. Какие закономерности называют статистическими и динамическими? Какие из них имеют более общий характер?

2. Приведите примеры случайных величин в быту, в технике.

3. Что называется функцией распределения непрерывной случайной величины?

4. Запишите нормальный закон распределения случайной величины.

5. Как изменится график нормального распределения при изменении среднего значения случайной величины, при изменении дисперсии?

6. Сформулируйте «правило трех сигм».

7. Объясните, почему с помощью данной установки можно моделировать закон распределения Гаусса. На какой параметр распределения (среднее значение или дисперсию) влияет увеличение числа рассеивающих сеток?

Список рекомендуемой литературы

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. - 11-е изд., стер. / Т.И. Трофимова. - М.: Изд. центр «Академия», 2006. - §§ 41, 44.

2. Детлаф, А.А. Курс физики: учеб. пособие для студ. втузов. - 6-е изд., стер. / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. - М.: Изд. центр «Академия», 2007. - §§ 8.2, 10.3.

3. Концепции современного естествознания: Курс лекций для студентов гуманитарных специальностей. Гл. 7. Классические статистическая физика и термодинамика / БГИТА; Сост. К.Н. Евтюхов. – Брянск, 2000. – 28 с.