Скачать:  runge.zip [47 Kb] (cкачиваний: 9)

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА  № 2

по курсу "Моделирование процессов и систем "

Р Е Ш И Н И Е   З А Д А Ч И   К О Ш И

М Е Т О Д О М   Р У Н Г Е - К У Т Т А

ВВЕДЕНИЕ

В данной лабораторной работе продолжается изучение одношаговых методов численного решения дифференциальных уравнений в форме Коши. Всем одношаговых методам присущи определенные общие черты:

1) Эти методы одноступенчатые; для нахождения y_n+1 нужна только точка (t_n,y_n).

2) Они согласуются с разложением в ряд Тейлора вплоть до члена с h^k, где степень k определяет порядок метода, т.е. его точность.

3) При использовании этих методов не требуется вычислять производную от f(t,y).

4) Одношаговые методы "Самостартующиеся", что позволяет легко менять величину шага h.

Наиболее знаменитым из одношаговых методов является классический метод Рунге-Кутта, к изучению которого мы приступаем.

1. Метод Рунге-Кутта

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

y'=f(y,t)                                                 (1.1)

Удовлетворяющее начальному условию

y(t₀)=y₀                                                (1.2)

Численное решение задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y1, y2, ... , yn решения уравнения в точках t1, t2, ... , tn. Точки t1, t2, ... , tn- узлы сетки. Используем систему равноотстоящих узлов. Величина h - шаг сетки (шаг интегрирования).

Принцип, на котором основан метод Рунге-Кутта, можно пояснить как и принцип, на котором основан метод Эйлера, с помощью разложения функции в ряд Тейлора.

y(t₀+h)=y(t₀)+h*y'(t₀)+1/2*h²y"(t₀)+...

Чтобы удержать в ряде Тейлора член n-го порядка, необходимо каким-то образом вычислить n-ю производную зависимой переменной.

При использовании модифицированного метода Эйлера для получения второй производной в конечно-разностной форме достаточно было знать наклоны кривой на концах рассматриваемого интервала.

Чтобы вычислить третью производную в конечно-разностном виде, необходимо иметь значения второй производной по меньшей мере в двух точках. Для этого необходимо дополнительно определить наклон кривой в некоторой промежуточной точке интервала h, т.е. между t_n и t_n+1. Очевидно, чем выше порядок вычисляемой производной, тем больше дополнительных точек потребуется вычислять внутри интервала.

Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге-Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений.

Наиболее распространенным из них является метод четвертого порядка точности,  при котором удерживаются все члены ряда Тейлора, включая

h⁴.  Расчеты при использовании этого классического метода производятся

по формулам:

Метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге-Кутта первого и второго порядка соответственно.

Более высокая точность метода Рунге-Кутта часто позволяет увеличить шаг интегрирования h. Допустимая погрешность на шаге определяет его максимальную величину. В прикладных пакетах программ выбор шага часто осуществляется автоматически. Для этого проводят вычисления сначала с шагом h, а затем - с шагом h/2. За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 можно принять приближенную формулу

,                                        (1.4)

где y_n^* - вычисленное значение с шагом h/2;

y_n - вычисленное значение с шагом h.

При реализации методов Рунге-Кутта на ЭВМ для каждой точки проводят двойной счет.  Если полученные при этом значения удовлетворяют выражению (1.4), то для точки t шаг удваивают, в противном случае уменьшают вдвое. Однако, необходимо помнить, что выражение (1.4) приближенное и при неблагоприятных условиях можно получить совершенно ошибочные результаты, хотя, в большинстве случаев дело обстоит благополучно.

2. Метод Рунге-Кутта

для системы дифференциальных уравнений

Формулы Рунге-Кутта можно использовать для решения систем диф-ференциальных уравнений и, следовательно, для решения дифференциальных уравнений более высоких порядков, так как любое дифференциальное уравнение n-го порядка можно свести к n дифферен-циальным уравнениям первого порядка.

Например,   в дифференциальном уравнении второго порядка

можно принять            

Тогда  и получаем два уравнения первого порядка:

                                                          (2.1)

где f(t,y,x)=z.

Задача Коши в этом случае содержит два начальных условия

y(t₀)=y₀  и  z(t₀)=z₀                               (2.2)

Формулы Рунге-Кутта для рассматриваемого случая имеют вид

3 . Математическая модель механической системы

В аэрокосмической промышленности и на транспорте, где имеются многочисленные источники возбуждения колебаний, часто приходится сталкиваться с задачами об ударе и колебаниях. Устранение ударных и вибрационных нагрузок имеет исключительно большое значение для обеспечения нормальной работы приборов и систем управления и создания комфортных условий для экипажа.

Обычно для защиты от чрезмерных вибраций в конструкцию транспортного средства вводят упругие опоры, снабженные устройствами, обеспечивающими некоторое демпфирование колебаний. Такие опоры резко уменьшают частоты собственных колебаний конструкции, обеспечивая их существенное отличие от частот возмущающих силовых факторов. Такое решение эффективно как средство защиты от стационарных колебаний, однако в случае ударных нагрузок податливость опор может привести к недопустимо большим смещениям.

Известно, что от этого недостатка свободны системы подвески, в которых используются пружины с симметричной нелинейной характеристикой, жесткость которых прогрессивно увеличивается при больших отклонениях от "рабочей точки". Устройство, показанное на рис. 1, состоит из массы m, связанной с жесткой стенкой через пружину постоянной жесткости с1, демпфер с коэффициентом демпфирования к и пружиной с нелинейной характеристикой, создающей восстанавливающую силу, равную произведению постоянной с2 на смещение в третьей степени. Такая "кубическая" пружина имеет симметричную нелинейную характеристику, обеспечивающую защиту от ударных и вибрационных нагрузок.

                                                          Рис. 1.

Так как движение рассматриваемой системы описывается нелинейным дифференциальным уравнением

m*x"+k*x'+c1*x+c2*x³=0,                        (3.1)

то традиционные "точные" методы не позволяют найти зависимость смещения x от времени. Поэтому для решения указанного уравнения придется прибегнуть к численному методу.

4. Задание к лабораторной работе

1) Смоделировать движение механической системы, описанной в П.3. Чтобы решить эту задачу необходимо дифференциальное уравнение (3.1)

второго порядка свести к двум дифференциальным уравнениям первого порядка и записать их в форме Коши.

2) Написать и ввести в ЭВМ программу решения полученной системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Построить график переходного процесса.

3) Варианты заданий.

Таблица 1.

Определить значение коэффициента демпфирования К, при котором переходный процесс приобретает монотонный характер, без перерегули-рования.