Скачать: kopiya-drevneindusskaya-matematika.zip [24,58 Kb] (cкачиваний: 7)

Идеи интерполирования и идеи приближенного вычисления у древних индусов.

Более полное представление о конкретном содержании индусской математики мы получаем  благодаря Бхаскара Акарья, родившегося в 1114 г., «Лилавати» и «Виджаганита».Содержание первого труда связано со счетом и арифметикой, а второго- с алгеброй. Название первой книги следует понимать в том смысле, что прекрасна арифметика, о которой в задачах говорится в лирических выражениях, вполне гармонирующих с поэтическим характером формулировок задач. У индусов не было склонностей к теоретической строгости. Они путем числовых выкладок и практического эмпиризма могли усвоить теоремы и методы, для которых не формулируют словесно доказательства, а ограничиваются проведением чертежей, сопровождая их при этом словом «смотри!»

Из вопросов арифметики индусы были знакомы с простыми и сложным тройным правилом, с правилами простых и сложных процентов, с правилами товарищества, задачами на смещение и т. д. У них имелись также определенные правила для решения ряда других задач, которые в настоящее время мы решаем с помощью уравнений. Среди этих правил имелось и правило ложного положения (regula falsi), которое встречается уже у египтян, но они не ограничились этим простым правилом. Из позднейших арабских источников следует, что использовалась так называемое правило двух ложных положений (regula duorum falsorum). С его помощью, из двух пробных значений, решались задачи, которые, выраженные уравнением, зависели бы от уравнения первой степени вида:

Если после подстановки  и  в левую сторону мы получим значения и , в отличие от k, то неизвестная x выразится формулой:

Легко заметить, что это правило совпадает с тем, что мы называем теперь простой интерполяцией, которая годится не только для точных выкладок,  как у индусов, если f(x)  есть, действительно, целая функция первой степени, но и для получения большего приближения, если  и  представляют уже приближенные значения.

Другое весьма общее правило – это правило обращения, заключается в следующем: если нужно найти число, которое после ряда операций приводит к некоторому известному числу, то для этого необходимо над этим последним числом произвести в обратном порядке все обратные операции. У индусов существовал ряд специальных правил( например, правила для арифметических и геометрических прогрессий). Правила эти излагаются без всяких доказательств в «Лилавати».

Индусы легко решали уравнение , которое преобразовывали к виду  а потом разлагали , представляя его в виде  произведения двух целых сомножителей.

Для неопределенных уравнений второй степени по отношению к каждой из неизвестных: в отличии от Диофанта –они искали не просто рациональные, а целочисленные решений. В частности, они занимались изучением уравнения

к которому сводится ряд других неопределенных уравнений второй степени.

Чтобы дать представление об употреблявшемся ими методе, приведем решение особенно важного уравнения

Уравнение (2)  значительно позже стали называть уравнением Пелля, которое занимало мысль европейских математиков. Оно играет важную роль при решении вопроса о том, как выразить возможно более точным образом посредством дроби  корень квадратный из числа а, не являющегося квадратом.

Начнем с приема, который отличается от приема Диофанта, но благодаря которому индусы умели получать неограниченное число рациональных решений. Для этого составим уравнения:

где для определения  и  берут произвольные . Если решить эти уравнения относительно  и , то произведение этих двух количеств можно написать в виде:

 Это дает третье уравнение

где

Тождественно приравнивая оба уравнения (3), получаем:

Или

Таким образом, мы имеем рациональное решение уравнения (2). Если продолжать подставлять произвольные значения на место  и , то нередко удается целочисленные значения  и .Отметим случаи, когда удается получить уже, что  или .

Если  то можно, поступая таким образом, получить из одного какого-нибудь решения (2) новое решение и затем сколько угодно решений; если  или  , то (5) дает, в свою очередь, целочисленное решение уравнения (2), ибо из  можно вывести, что , т.е. равно четному числу. В то же время знание одного решения (2) дает возможность благодаря (4) получить из одного решения (1) неограниченное  количество решений.

Если однако, для некоторого данного значения а последовательные пробы не приводят к уравнению вида (1), для которого  или , то прибегают к так называемому циклическому методу для приведения значения  .

Список литературы:

1)Г. Г. Цейтен.- История математики в древности и в средние века. Перевод П. Юшкевича с французского издания, исправленного автором.-Государственное технико-теоретическое издательство.-Москва.-1932 г.

2) Рыбников К.А История математики М.: МГУ,1994