| Курсовая работа по ТАУ | |
| Автор: drug | Категория: Технические науки / Автоматизация | Просмотров: | Комментирии: 0 | 02-01-2013 16:34 |
Содержание
Задание
1 Структурная схема САУ по заданной совокупности уравнений.
2 Передаточные функции замкнутой САУ по задающему воздействию, по возмущению, по ошибке.
3 Область устойчивости замкнутой системы, построенная методом D-разбиения по неизвестному коэффициенту усиления.
4 Оценка устойчивости замкнутой САУ по критерию Гурвица.
5 Исследование устойчивости замкнутой САУ по критериям Михайлова и Найквиста.
6 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ, запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
7 Коэффициенты ошибок замкнутой САУ.
8 Переходная характеристика САУ, показатели качества управления.
Вариант 14
Задание
САУ №4
Система управления описывается совокупностью уравнений
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Известные параметры системы управления приведены в таблице ниже.
Таблица 1 – Параметры САУ №4
№
5 8 1.7 3.0 0.076 0.036 5.4
1 Структурная схема САУ по заданной совокупности уравнений.
По заданной совокупности уравнений построим структурную схему САУ (рисунок 1)
Рисунок 1- Структурная схема САУ
2 Передаточные функции замкнутой САУ по задающему воздействию, по возмущению, по ошибке.
Передаточная функция разомкнутой системы:
Передаточная функция замкнутой системы:
Передаточная функцию замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию имеет вид
и передаточная функцию для ошибки по возмущению
3 Область устойчивости замкнутой системы, построенная методом D-разбиения по неизвестному коэффициенту усиления.
Найдем максимальное значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы , при котором замкнутая система теряет устойчивость. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы
Осуществим в данном выражении замену и разрешим это уравнение относительно коэффициента
Выделим вещественную и мнимую части
Для полной картины изменения сформируем таблицу зависимости , и по данным таблицы построим кривую (рис. 2).
Рисунок 2– Область устойчивости в плоскости
Таблица 2 – Данные для построения кривой D-разбиения
w x(w) y(w)
-5 -0,0565706 -1,49179
-4,5 0,0300666 -0,9726
-4 0,0686099 -0,58206
-3,5 0,0786966 -0,29756
-3 0,0725951 -0,10112
-2,5 0,0582904 0,022545
-2 0,0411224 0,087121
-1,5 0,0247037 0,105292
-1 0,0114572 0,089104
-0,5 0,0029339 0,050203
0 0 0
0,5 0,0029339 -0,0502
1 0,0114572 -0,0891
1,5 0,0247037 -0,10529
2 0,0411224 -0,08712
2,5 0,0582904 -0,02254
3 0,0725951 0,101119
3,5 0,0786966 0,297556
4 0,0686099 0,582063
4,5 0,0300666 0,972603
5 -0,0565706 1,491787
Таким образом, областью устойчивости является отрезок вещественной оси заключенный между началом координат и точкой с координатами (0,06;j0). Следовательно, граничное значение коэффициента передачи разомкнутой системы управления равно К1.=0,06.
4 Оценка устойчивости замкнутой САУ по критерию Гурвица.
Характеристический полином системы имеет вид K1=0,04
Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Определители Гурвица равны
.
Как видно по результатам исследования система устойчива, так как все определители положительны.
5 Исследование устойчивости замкнутой САУ по критериям Михайлова и Найквиста.
5.1 Исследование устойчивости САУ по критерию Михайлова
Характеристический полином системы при К1 =0,04 имеет вид
.
Осуществим подстановку и выделим мнимую и действительную части в характеристическом полиноме
;
.
Значения Х(w) и У(w) занесены в таблицу.
Таблица 2-Данные для годографа Михайлова
w x(w) y(w)
0 0,384 0
0,3 0,3630615 0,311559
0,7 0,2729415 0,703731
1 0,165 0,963
2 -0,312 1,428
3 -0,507 0,897
4 0,48 -1,128
При получим точку с координатами , т.е. годограф начинается на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости. При годограф уходит в бесконечность в четвертом квадранте комплексной плоскости. Кривая (рисунок 3) начинается на вещественной положительной полуоси, последовательно пересекает мнимую и вещественные оси, уходит в бесконечность в четвертом квадранте комплексной плоскости. В соответствии с критерием Михайлова, система является устойчивой.
Рисунок 3 – Кривая Михайлова
5.3 Исследование устойчивости САУ по критерию Найквиста
Передаточная функция разомкнутой системы при К1 =0,04 имеет вид:
После подстановки
Мнимую и действительную часть характеристики найдем из формулы:
Характеристику построим в полярных координатах.
Таблица 3-Данные для годографа Найквиста
w U(w) V(w)
1 -0,0471553 -0,4075
2 -0,0636105 -0,25429
3 -0,1732909 -0,3025
4 -0,1181953 0,301331
5 0,0028403 0,069579
5,5 0,0039778 0,043032
6 0,0035581 0,028907
7 0,0023635 0,015184
8 0,0015371 0,009061
9 0,0010248 0,005874
10 0,000704 0,004039
11 0,0004974 0,002904
12 0,0003605 0,002161
13 0,0002671 0,001654
14 0,0002019 0,001296
15 0,0001552 0,001035
16 0,0001212 0,00084
Рисунок 4-Годограф Михайлова
Как видно из рисунка 4 замкнутая система является устойчивой, так как годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;j0)
6 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ, запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
Построим асимптотическую ЛАХ (рисунок 5). Передаточная функция разомкнутой системы при К1 =0,04 имеет вид:
Найдем амплитуду при частоте и частоты сопряжения асимптот:
L(0)=20lgK= =19дБ
Учтем, что угол первой асимптоты равен -20 дБ/дек, так как система имеет астатизм 1 порядка, второй - -40, так как звено является апериодическим, третья асимптота -20 дБ/дек, так как четвертое звено является диффиринцирующим, пятая асимптота - 60 дБ/дек, так как звено колебательное.
ФЧХ системы построим как сумму ФЧХ элементарных динамических звеньев:
,
,
Сведем в таблицу данные для построения характеристику:
w 0,2 1 2.5 5 40
90,70 1550 1790 272 265
Построим по точкам ФЧХ. Как видно из рисунка запасы устойчивости равны: , .
Рисунок 5- Логарифмическая амплитудная и фазовая характеристики
7 Коэффициенты ошибок замкнутой САУ
Найдем установившуюся ошибку САУ при K1=0,04 при изменении задающего воздействия по закону
и постоянной помехе
Передаточная функцию замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию имеет вид
и передаточная функцию для ошибки по возмущению
Если по передаточной функции для ошибки по задающему воздействию видно =0,156, K=0,38, тогда из лекций известно, что коэффициенты ошибок: и .
Для нахождения коэффициента ошибки по возмущению, так же из лекций:
Далее находим производную по времени для задающего воздействия
.
Таким образом, получаем
.
8 Переходная характеристика САУ, показатели качества управления.
ПФ замкнутой системы равна
.
Решение характеристического уравнения
дает следующие полюсы системы
;
;
;
Далее находим
, ;
;
;
,
,
,
Согласно теореме разложения переходная функция равна
.
Вычислим отдельно слагаемые, находящиеся под знаком суммы. При получаем
Для получаем
При получаем
Для получаем
Преобразуем сумму слагаемых, относящихся к парам комплексных корней
Итак, реакция САУ на ступенчатое воздействие определяется следующим выражением
.
Данные представлены в таблице, в приложении А.
Рисунок 6. Переходная функция системы
Таким образом, как видно из рисунка, показатели качества системы имеют следующие значения: перерегулирование , время регулирования .
Приложение А
Таблица данных для построения функции переходного процесса
Время, t Значение характ. h(t)
0 0,0835956
0,1 0,2425066
0,2 0,3566858
0,3 0,4250888
0,4 0,4520304
0,5 0,4459783
0,6 0,417987
0,7 0,3800139
0,8 0,3433408
0,9 0,3172847
1 0,3083193
1,1 0,3196625
1,2 0,3513205
1,3 0,4005244
1,4 0,4624517
1,5 0,5311088
1,6 0,6002418
1,7 0,6641594
1,8 0,7183786
1,9 0,7600346
2 0,7880355
2,1 0,8029766
2,2 0,8068556
2,3 0,8026499
2,4 0,7938278
2,5 0,7838613
2,6 0,7758024
2,7 0,7719657
2,8 0,7737437
2,9 0,7815608
3 0,7949523
3,1 0,8127439
3,2 0,8332945
3,3 0,8547658
3,4 0,8753805
3,5 0,8936387
3,6 0,908472
3,7 0,9193226
3,8 0,92615
3,9 0,9293706
4 0,9297502
4,1 0,9282651
4,2 0,9259568
4,3 0,9237959
4,4 0,9225738
4,5 0,9228296
4,6 0,924818
4,7 0,9285173
4,8 0,9336691
4,9 0,9398438
5 0,946517
5,1 0,953149
5,2 0,9592547
5,3 0,9644583
5,4 0,9685267
5,5 0,9713805
5,6 0,9730856
5,7 0,9738264
5,8 0,9738684
5,9 0,9735159
6 0,9730696
6,1 0,9727906
6,2 0,972874
6,3 0,9734337
6,4 0,9744999
6,5 0,9760266
6,6 0,9779078
6,7 0,979999
6,8 0,9821411
6,9 0,9841817
7 0,9859944
7,1 0,9874909
7,2 0,9886276
7,3 0,9894055
7,4 0,9898648
7,5 0,9900745
7,6 0,9901212
7,7 0,9900956
7,8 0,9900813
7,9 0,9901458
8 0,9903339
Задание
1 Структурная схема САУ по заданной совокупности уравнений.
2 Передаточные функции замкнутой САУ по задающему воздействию, по возмущению, по ошибке.
3 Область устойчивости замкнутой системы, построенная методом D-разбиения по неизвестному коэффициенту усиления.
4 Оценка устойчивости замкнутой САУ по критерию Гурвица.
5 Исследование устойчивости замкнутой САУ по критериям Михайлова и Найквиста.
6 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ, запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
7 Коэффициенты ошибок замкнутой САУ.
8 Переходная характеристика САУ, показатели качества управления.
Вариант 14
Задание
САУ №4
Система управления описывается совокупностью уравнений
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Известные параметры системы управления приведены в таблице ниже.
Таблица 1 – Параметры САУ №4
№
5 8 1.7 3.0 0.076 0.036 5.4
1 Структурная схема САУ по заданной совокупности уравнений.
По заданной совокупности уравнений построим структурную схему САУ (рисунок 1)
Рисунок 1- Структурная схема САУ
2 Передаточные функции замкнутой САУ по задающему воздействию, по возмущению, по ошибке.
Передаточная функция разомкнутой системы:
Передаточная функция замкнутой системы:
Передаточная функцию замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию имеет вид
и передаточная функцию для ошибки по возмущению
3 Область устойчивости замкнутой системы, построенная методом D-разбиения по неизвестному коэффициенту усиления.
Найдем максимальное значение общего коэффициента передачи разомкнутой системы , при котором замкнутая система теряет устойчивость. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы
Осуществим в данном выражении замену и разрешим это уравнение относительно коэффициента
Выделим вещественную и мнимую части
Для полной картины изменения сформируем таблицу зависимости , и по данным таблицы построим кривую (рис. 2).
Рисунок 2– Область устойчивости в плоскости
Таблица 2 – Данные для построения кривой D-разбиения
w x(w) y(w)
-5 -0,0565706 -1,49179
-4,5 0,0300666 -0,9726
-4 0,0686099 -0,58206
-3,5 0,0786966 -0,29756
-3 0,0725951 -0,10112
-2,5 0,0582904 0,022545
-2 0,0411224 0,087121
-1,5 0,0247037 0,105292
-1 0,0114572 0,089104
-0,5 0,0029339 0,050203
0 0 0
0,5 0,0029339 -0,0502
1 0,0114572 -0,0891
1,5 0,0247037 -0,10529
2 0,0411224 -0,08712
2,5 0,0582904 -0,02254
3 0,0725951 0,101119
3,5 0,0786966 0,297556
4 0,0686099 0,582063
4,5 0,0300666 0,972603
5 -0,0565706 1,491787
Таким образом, областью устойчивости является отрезок вещественной оси заключенный между началом координат и точкой с координатами (0,06;j0). Следовательно, граничное значение коэффициента передачи разомкнутой системы управления равно К1.=0,06.
4 Оценка устойчивости замкнутой САУ по критерию Гурвица.
Характеристический полином системы имеет вид K1=0,04
Все коэффициенты характеристического уравнения положительные. Определители Гурвица равны
.
Как видно по результатам исследования система устойчива, так как все определители положительны.
5 Исследование устойчивости замкнутой САУ по критериям Михайлова и Найквиста.
5.1 Исследование устойчивости САУ по критерию Михайлова
Характеристический полином системы при К1 =0,04 имеет вид
.
Осуществим подстановку и выделим мнимую и действительную части в характеристическом полиноме
;
.
Значения Х(w) и У(w) занесены в таблицу.
Таблица 2-Данные для годографа Михайлова
w x(w) y(w)
0 0,384 0
0,3 0,3630615 0,311559
0,7 0,2729415 0,703731
1 0,165 0,963
2 -0,312 1,428
3 -0,507 0,897
4 0,48 -1,128
При получим точку с координатами , т.е. годограф начинается на вещественной положительной полуоси комплексной плоскости. При годограф уходит в бесконечность в четвертом квадранте комплексной плоскости. Кривая (рисунок 3) начинается на вещественной положительной полуоси, последовательно пересекает мнимую и вещественные оси, уходит в бесконечность в четвертом квадранте комплексной плоскости. В соответствии с критерием Михайлова, система является устойчивой.
Рисунок 3 – Кривая Михайлова
5.3 Исследование устойчивости САУ по критерию Найквиста
Передаточная функция разомкнутой системы при К1 =0,04 имеет вид:
После подстановки
Мнимую и действительную часть характеристики найдем из формулы:
Характеристику построим в полярных координатах.
Таблица 3-Данные для годографа Найквиста
w U(w) V(w)
1 -0,0471553 -0,4075
2 -0,0636105 -0,25429
3 -0,1732909 -0,3025
4 -0,1181953 0,301331
5 0,0028403 0,069579
5,5 0,0039778 0,043032
6 0,0035581 0,028907
7 0,0023635 0,015184
8 0,0015371 0,009061
9 0,0010248 0,005874
10 0,000704 0,004039
11 0,0004974 0,002904
12 0,0003605 0,002161
13 0,0002671 0,001654
14 0,0002019 0,001296
15 0,0001552 0,001035
16 0,0001212 0,00084
Рисунок 4-Годограф Михайлова
Как видно из рисунка 4 замкнутая система является устойчивой, так как годограф разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1;j0)
6 Логарифмические частотные характеристики разомкнутой САУ, запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
Построим асимптотическую ЛАХ (рисунок 5). Передаточная функция разомкнутой системы при К1 =0,04 имеет вид:
Найдем амплитуду при частоте и частоты сопряжения асимптот:
L(0)=20lgK= =19дБ
Учтем, что угол первой асимптоты равен -20 дБ/дек, так как система имеет астатизм 1 порядка, второй - -40, так как звено является апериодическим, третья асимптота -20 дБ/дек, так как четвертое звено является диффиринцирующим, пятая асимптота - 60 дБ/дек, так как звено колебательное.
ФЧХ системы построим как сумму ФЧХ элементарных динамических звеньев:
,
,
Сведем в таблицу данные для построения характеристику:
w 0,2 1 2.5 5 40
90,70 1550 1790 272 265
Построим по точкам ФЧХ. Как видно из рисунка запасы устойчивости равны: , .
Рисунок 5- Логарифмическая амплитудная и фазовая характеристики
7 Коэффициенты ошибок замкнутой САУ
Найдем установившуюся ошибку САУ при K1=0,04 при изменении задающего воздействия по закону
и постоянной помехе
Передаточная функцию замкнутой системы для ошибки по задающему воздействию имеет вид
и передаточная функцию для ошибки по возмущению
Если по передаточной функции для ошибки по задающему воздействию видно =0,156, K=0,38, тогда из лекций известно, что коэффициенты ошибок: и .
Для нахождения коэффициента ошибки по возмущению, так же из лекций:
Далее находим производную по времени для задающего воздействия
.
Таким образом, получаем
.
8 Переходная характеристика САУ, показатели качества управления.
ПФ замкнутой системы равна
.
Решение характеристического уравнения
дает следующие полюсы системы
;
;
;
Далее находим
, ;
;
;
,
,
,
Согласно теореме разложения переходная функция равна
.
Вычислим отдельно слагаемые, находящиеся под знаком суммы. При получаем
Для получаем
При получаем
Для получаем
Преобразуем сумму слагаемых, относящихся к парам комплексных корней
Итак, реакция САУ на ступенчатое воздействие определяется следующим выражением
.
Данные представлены в таблице, в приложении А.
Рисунок 6. Переходная функция системы
Таким образом, как видно из рисунка, показатели качества системы имеют следующие значения: перерегулирование , время регулирования .
Приложение А
Таблица данных для построения функции переходного процесса
Время, t Значение характ. h(t)
0 0,0835956
0,1 0,2425066
0,2 0,3566858
0,3 0,4250888
0,4 0,4520304
0,5 0,4459783
0,6 0,417987
0,7 0,3800139
0,8 0,3433408
0,9 0,3172847
1 0,3083193
1,1 0,3196625
1,2 0,3513205
1,3 0,4005244
1,4 0,4624517
1,5 0,5311088
1,6 0,6002418
1,7 0,6641594
1,8 0,7183786
1,9 0,7600346
2 0,7880355
2,1 0,8029766
2,2 0,8068556
2,3 0,8026499
2,4 0,7938278
2,5 0,7838613
2,6 0,7758024
2,7 0,7719657
2,8 0,7737437
2,9 0,7815608
3 0,7949523
3,1 0,8127439
3,2 0,8332945
3,3 0,8547658
3,4 0,8753805
3,5 0,8936387
3,6 0,908472
3,7 0,9193226
3,8 0,92615
3,9 0,9293706
4 0,9297502
4,1 0,9282651
4,2 0,9259568
4,3 0,9237959
4,4 0,9225738
4,5 0,9228296
4,6 0,924818
4,7 0,9285173
4,8 0,9336691
4,9 0,9398438
5 0,946517
5,1 0,953149
5,2 0,9592547
5,3 0,9644583
5,4 0,9685267
5,5 0,9713805
5,6 0,9730856
5,7 0,9738264
5,8 0,9738684
5,9 0,9735159
6 0,9730696
6,1 0,9727906
6,2 0,972874
6,3 0,9734337
6,4 0,9744999
6,5 0,9760266
6,6 0,9779078
6,7 0,979999
6,8 0,9821411
6,9 0,9841817
7 0,9859944
7,1 0,9874909
7,2 0,9886276
7,3 0,9894055
7,4 0,9898648
7,5 0,9900745
7,6 0,9901212
7,7 0,9900956
7,8 0,9900813
7,9 0,9901458
8 0,9903339